Teoria grup.html



Teoria grup – jeden z działów matematyki, uznawany za część algebry, badający własności obiektów zwanych grupami. Wraz z zastosowaniami stanowi on obecnie ogromną, autonomiczną dziedzinę wiedzy.

edytuj Historia

Początki teorii grup były związane z badaniami nad rozwiązalnością równań algebraicznych. W XVI wieku znaleziono metody rozwiązywania równań 3 i 4 stopnia. (Równania sześcienne były rozwiązane przez Scipione del Ferro i ponownie w 1535 przez Niccolo Tartaglię. W 1540, Ferrari odkrył metodę redukcji równań 4. stopnia do równań sześciennych. Po raz pierwszy wyniki te były opublikowane przez Cardano w jego dziele Ars Magna w 1545^[1].) W roku 1824 matematyk norweski Niels Henrik Abel udowodnił, że niektórych równań algebraicznych rzędu większego niż 4 nie da się rozwiązywać przez podanie podobnych wzorów; postawiono więc pytanie: „jakie równanie algebraiczne o danych współczynnikach liczbowych można w podobny sposób rozwiązać?” Matematyk francuski Évariste Galois rozwiązał ten problem w roku 1830, badając własności pewnej grupy skończonej (por. grupa rozwiązalna). Prace Galois zauważone i docenione dopiero w 18 lat po jego śmierci dały początek teorii grup, która z kolei zapoczątkowała rozwój nowoczesnej algebry.

edytuj Zastosowania

Teoria grup ma liczne zastosowania w fizyce i chemii. Wszędzie, gdzie bada się symetrie obiektów fizycznych (atomów, cząsteczek, struktur krystalicznych) lub bardziej abstrakcyjnych struktur jak czasoprzestrzeń czy pole fizyczne stosowane są narzędzia teorii grup.

W szczególności:

• związek grup przekształceń z symetriami układów fizycznych prowadzi do opisu zasad zachowania i twierdzenia Noether, jednego z najważniejszych dla fizyki twierdzeń matematycznych
• formalizm matematyczny mechaniki kwantowej opiera się na teorii reprezentacji grup.

W szczególności teorią grup zainteresowani są przedstawiciele takich dziedzin, jak fizyka cząstek elementarnych, spektroskopia czy fizyka ciała stałego (w tym krystalografia). Jej zastosowania obejmują także kryptografię, genetykę i wiele innych dziedzin nauki, a nawet sztuki.

Przypisy

edytuj Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
• grupa,
• M. C. Escher.