Tesserakt

Animacja rzutu obracającego się tesseraktu

Rzuty hipersześcianów na płaszczyznę (do sześciowymiarowego hipersześcianu włącznie)

Hipersześcian - to w geometrii nazwa uogólnienia sześcianu w $n\$ -wymiarowych przestrzeniach kartezjańskich $\mathbb{R}^n\$ . Hipersześcianem jest zarówno płaski kwadrat, jak i trój-, cztero- bądź pięciowymiarowy sześcian. Nazwy hipersześcian używa się jednak najczęściej dla przestrzeni o więcej niż 3 wymiarach. Hipersześcian jest wielotopem foremnym.

edytuj Brzeg hipersześcianu

Po prawej stronie pokazano trzy hipersześciany: odpowiednio płaski, dwuwymiarowy kwadrat, trójwymiarowy sześcian oraz czterowymiarowy tesserakt. Ścianami sześcianu jest sześć kwadratów, zaś tesseraktu osiem sześcianów. Na rysunku obok sześcienne ściany tesseraktu są widoczne jako sześcian "wewnętrzny" (oddalony w czwarty wymiar więc w rzucie perspektywicznym mniejszy), sześcian "zewnętrzny" (najbliżej patrzącego w czwartym wymiarze) oraz 6 ściętych ostrosłupów (też efekt perspektywy), z których każdy ma po jednym kwadracie wspólnym z sześcianem "zewnętrznym" i "wewnętrznym". Analogicznie pięciowymiarowy hipersześcian ma jako ściany dziesięć tesseraktów i ogólnie $n\$ -wymiarowy hipersześcian $2n\$ hipersześcianów $n-1\$ -wymiarowych.

Hipersześcianem jednowymiarowym jest odcinek, a zerowymiarowym - punkt.

Podobnie jak na brzegu trójwymiarowego sześcianu znajdują się sześciany dwu-, jedno- i zerowymiarowe (ściany, krawędzie i wierzchołki), tak na brzegu dowolnego $n\$ -wymiarowego hipersześcianu znajdziemy w szczególności ${n \choose k} 2^{n-k}$ hipersześcianów $k\$ -wymiarowych dla każdego $k\in\{0,1,\dots,n-1\}$ .

W $n\$ -wymiarowym hipersześcianie z każdego wierzchołka wychodzi $n\$ prostopadłych do siebie krawędzi.

edytuj Definicja hipersześcianu

Hipersześcian o krawędzi długości $a>0\$ w przestrzeni kartezjańskiej $n\$ -wymiarowej jest zbiorem jej punktów, których współrzędne $(x_1,x_2,\dots x_n)$ w pewnym układzie współrzędnych spełniają układ nierówności:

$\left\{ \begin{matrix} 0\le x_1\le a \\ 0\le x_2\le a \\ \dots \\ 0\le x_n\le a \end{matrix} \right.$

Równoważnie można ten układ zapisać w postaci jednej nierówności wykorzystując maksimum:

$max(x_1,a-x_1,x_2,a-x_2,\dots,x_n,a-x_n)\le a$

edytuj Wzory

$a\$ - długość jednego boku hipersześcianu;
$n\$ - ilość wymiarów hipersześcianu (przykładowo dla kwadratu $n=2\$ , a dla sześcianu $n=3\$ ).

Wzór na objętość ( $n\$ -wymiarową miarę Lebesgue'a) hipersześcianu:

$V_{n}=a^{n}\$

Wzór na długość przekątnej hipersześcianu:

$d=a \cdot \sqrt[2]{n}$

Wzór na promień hiperkuli wpisanej w hipersześcian:

$r=\frac{1}{2} \cdot a = \frac{a}{2}$

Wzór na promień hiperkuli opisanej na hipersześcianie:

$R=\frac{a \cdot \sqrt[2]{n}}{2}$

Wzór na objętość wielowymiarową hiperkuli wpisanej w hipersześcian:^[1]

$V_{r_{n}}=\frac { \pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma (\frac{n}{2}+1)} \cdot \left( \frac{a}{2}\right) ^n$

Wzór na objętość wielowymiarową hiperkuli opisanej na hipersześcianie:^[1]

$V_{R_{n}}=\frac { \pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma (\frac{n}{2}+1)} \cdot \left( \frac{a\cdot \sqrt[2]{n}}{2}\right)^n$

edytuj Lista hipersześcianów

Poniżej znajduje się lista $n\$ -wymiarowych hipersześcianów (do $n=9\$ włącznie).

n=	Nazwa	Symbol Schläfliego	Diagram Coxetera-Dynkina	Wierz- choł- ków	Bo- ków	Ścian	Ko- mó- rek	Ścian 4-wym.	Ścian 5-wym.	Ścian 6-wym.	Ścian 7-wym.	Ścian 8-wym.	Ścian 9-wym.
$0\$	Punkt	—	—	1	—	—	—	—	—	—	—	—	—
$1\$	Odcinek	{} bądź {2}		2	1	—	—	—	—	—	—	—	—
$2\$	Kwadrat	{4}		4	4	1	—	—	—	—	—	—	—
$3\$	Sześcian (in. heksaedr)	{4,3}		8	12	6	1	—	—	—	—	—	—
$4\$	Hipersześcian czterowymiarowy (in. tesserakt)	{4,3,3}		16	32	24	8	1	—	—	—	—	—
$5\$	Hipersześcian pięciowymiarowy (in. penterakt)	{4,3,3,3}		32	80	80	40	10	1	—	—	—	—
$6\$	Hipersześcian sześciowymiarowy (in. hekserakt)	{4,3,3,3,3}		64	192	240	160	60	12	1	—	—	—
$7\$	Hipersześcian siedmiowymiarowy (in. hepterakt)	{4,3,3,3,3,3}		128	448	672	560	280	84	14	1	—	—
$8\$	Hipersześcian ośmiowymiarowy (in. okterakt)	{4,3,3,3,3,3,3}		256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1	—
$9\$	Hipersześcian dziewięciowymiarowy (in. ennerakt)	{4,3,3,3,3,3,3,3}		512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18	1

edytuj Siatka hipersześcianu

Ilustracja trójwymiarowej siatki tesseraktu, złożonej z sześcianów

Wyobrażenie sobie wielowymiarowych hipersześcianów jest dla ludzi, jako istot postrzegających tylko trzy wymiary przestrzenne, bardzo trudne o ile w ogóle możliwe.

Spójrzmy na siatki hipersześcianów. Płaski kwadrat składa się z odcinków, zaś siatka trójwymiarowego sześcianu składa się z kwadratów. Analogicznie "siatka" tesseraktu będzie się składała z sześcianów, a hipersześcianu pięciowymiarowego - z tesseraktów.

Podobnie, można by pokazać tzw. płaszczakom (tj. potencjalnym istotom żyjącym na płaszczyźnie, postrzegającym tylko dwa wymiary) siatkę sześcianu. Zobaczyłyby one sześć "sztywno" połączonych ze sobą kwadratów w ułożonych na kształt krzyża. Człowiek - istota trójwymiarowa - zacząłby składać z nich sześcian, najpierw wyginając kolejne kwadraty do góry, w trzeci wymiar - wysokość. Dla płaszczaka pojęcie wysokości jest jednak niewyobrażalne, więc gdy kolejne kwadraty położone na płaszczyźnie "podnosiłyby" się do góry, w jego postrzeganiu świata po prostu one by znikały, aż w końcu zostałby tylko jeden kwadrat, który na początku znajdował się w środku siatki.

Tak samo stałoby się, gdyby hipotetyczna istota czterowymiarowa próbowała pokazać człowiekowi składanie tesseraktu. Na początku człowiek widziałby osiem połączonych ze sobą na kształt krzyża sześcianów (zobacz ilustracja obok). Istota czterowymiarowa rozpoczęłaby składanie tesseraktu "podnoszeniem" sześcianów w czwarty, niewidzialny dla człowieka wymiar. Dla człowieka kolejne sześciany "podnoszone" w wyższy wymiar znikałyby, aż zostanie tylko jeden, na początku będący w środku siatki bryły.

edytuj Hipersześciany w informatyce

Hiersześcian, a dokładniej graf połączeń jego wierzchołków jest jedną z topologi połączeń procesorów w superkomputerach. Jedną z zalet takich superkomputerów jest bardzo duża wydajność algorytmów przesyłających wiadomości pomiędzy procesorami z powodu stałej i małej (2) odległośći pomiędzy wszystkimi procesorami. Również symetria tej topologii pozwala na łatwe badanie jej właściwości teoretycznie ze względu na to że wszystkie węzły są równorzędne. Topologia hiperkostki niestety napotyka na problemy związane z fizyczną trudnością utworzenia tak dużej liczby połączeń. Z tego powodu obecnie większość superkomputerów to klastry o hierarchicznej budowie stosujące raczej switche, niż bezpośrednie połączenia. Najbardziej znany superkomputer w topologi hiperkostki to Intel iPSC/860

W zastosowaniach bazodanowych hiperkostka jest synonimem iloczynu kartezjańskiego zbioru wartości z kilku (czasami setek lub tysięcy) kolumn.

edytuj Hipersześciany w popkulturze

Wielowymiarowe hipersześciany i niektóre niewyjaśnione do dziś zagadnienia z nimi związane służą często jako inspiracje do różnego rodzaju dzieł. Dla przykładu, Salvador Dalí, hiszpański malarz surrealistyczny, zainspirowany tesseraktem stworzył w 1955 słynny obraz Christus Hypercubus, który przedstawia Chrystusa ukrzyżowanego na trójwymiarowej siatce tej czterowymiarowej figury (zdjęcie).

Hipersześcian jest również motywem przewodnim opowiadania pt. And he built a crooked house (ang. I zbudował krzywy dom) autorstwa Roberta Heinleina, które opowiada o pewnym małżeństwie, które buduje sobie dom w kształcie siatki tesseraktu, złożonej z ośmiu sześcianów. W mieście następuje jednak trzęsienie ziemi i w nieznany sposób siedem sześcianów znika, tak że zostaje tylko jeden. Małżeństwo wchodzi do domu i okazuje się, że podczas trzęsienia z sześcianów "zwinął" się czterowymiarowy tesserakt, z którego nie ma wyjścia i zachodzą w nim najróżniejsze anomalie czasowe oraz przestrzenne - np. z każdego okna widać inną część świata. Żeby wydostać się z niego, trzeba było następnego trzęsienia ziemi, podczas którego tesserakt z powrotem się "rozwinął"^[2].

O podobnej tematyce nakręcono również kanadyjski horror - Cube 2 w reżyserii Andrzeja Sekuły.

edytuj Przypisy

↑ ^1,0 ^1,1 $\Gamma\$ oznacza tutaj funkcję gamma. Prostsze wzory na objętość hiperkul (do dwunastego wymiaru) są podane w artykule hiperkula.
↑ źródło: Michio Kaku: Hiperprzestrzeń - wrzechświaty równoległe, pętle czasowe i dziesiąty wymiar. Warszawa: 1997, ss. 110-111. ISBN 83-8669-52-7.