Wektor.html

Ten artykuł dotyczy wektora w naukach ścisłych. Zobacz też: Wektor (ujednoznacznienie).

Ten artykuł wymaga dopracowania zgodnie z zaleceniami edycyjnymi.
Należy w nim poprawić: uporządkować tekst - wpierw definicja zrozumiała dla przeciętnego maturzysty, wektory na płaszczyźnie i w przestrzeni, później wektory n-wymiarowe, usunąć profesorsko-matematyczny mętlik; We wstępie jest mowa o wektorze swobodnym, potem jest definicja wektora zaczepionego (para punktów), a potem bardziej formalnie znowu wektora swobodnego. Trzeba je rozróżnić; własności w artykule podane są dla R^3, a rysunki dla R^2; pole magnetyczne jest polem wektorowym a nie wektorem.
Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się na stronie dyskusji tego artykułu w sekcji Dopracować
Po wyeliminowaniu wskazanych powyżej niedoskonałości prosimy usunąć szablon {{Dopracować}} z kodu tego artykułu.

Zasugerowano, aby artykuł wektor zaczepiony zintegrować z tym artykułem lub sekcją. (dyskusja)

Zasugerowano, aby artykuł wektor przeciwny zintegrować z tym artykułem lub sekcją. (dyskusja)

Wektor – w matematyce element zbioru pewnej przestrzeni liniowej lub przestrzeni afinicznej.

edytuj Intuicje

edytuj Matematyka

Wektor-uporządkowana para punktów. Jeden z nich jest początkiem (punktem zaczepienia), a drugi końcem. Posiada zwrot, kierunek i wartość. Kierunkiem wektora nazywamy prostą, na której ten wektor leży. Zwrot określa nam, które zakończenie odcinka symbolizującego nasz wektor jest początkiem, a które końcem wektora. Wartość wektora to jego długość określana w jednostkach.

edytuj Fizyka

Podstawowym przykładem wektora jest przesunięcie i wynikająca z niego prędkość poruszającego się punktu. Wielkości te są związane z przestrzenią, a nie z wielkościami opisującymi ją: aby w pełni określić prędkość, należy w danym układzie odniesienia podać jej wartość (zwaną czasem szybkością), kierunek oraz zwrot wektora. Określenie „ucieka z szybkością 180 km/h autostradą A1 w kierunku do Gdańska” niesie ze sobą te właśnie informacje – mamy tu wartość (180 km/h), kierunek (autostrada A1) i zwrot (na Gdańsk). Naturalnym układem odniesienia jest tu powierzchnia ziemi, względem której podajemy szybkość, kierunek i zwrot. Brak któregokolwiek elementu powoduje, że opis ruchu nie jest pełny. Prędkość można też określić podając jej współrzędne, czyli zespół liczb związany z osiami układu współrzędnych.

Wektor opisujący wymienione wyżej przesunięcie lub prędkość, opisywane w różnych układach współrzędnych zmienia się tak jak zmienia się określenie położenia punktu względem innego punktu w tych układach; można to uznać za kryterium bycia wektorem. Innymi słowy, wektor to obiekt który jest niezmienniczy względem przesunięcia prostokątnego układu współrzędnych i zmieniający się w odpowiedni sposób przy jego obrocie.

Innym przykładem wektora jest siła – ma ona zawsze pewną wartość, kierunek i zwrot w przestrzeni trójwymiarowej (liczba wymiarów nie ma tu większego znaczenia), a kilka różnych sił przyłożonych do tego samego obiektu daje w wyniku siłę wypadkową zgodnie z regułą równoległoboku.

Fizyka używa wektorów do opisu przesunięć i rozmaitych wielkości z nim związanych, np. prędkość, przyspieszenie, przemieszczenie, pęd, natężenie pola elektrycznego, natężenie pola grawitacyjnego. Również bardziej abstrakcyjne wielkości fizyki kwantowej, takie jak np. spin niektórych cząstek elementarnych są opisywane wektorami.

edytuj Skalary i pseudowektory

Między wektorami a skalarami istnieje wyraźna różnica: wielkości skalarne takie jak odległość, energia, czas, temperatura, ładunek elektryczny, moc, czy masa są w pełni scharakteryzowane przez swoją wartość. Uogólnieniem pojęcia wektora jest tensor (wektor można uważać za tensor rzędu 1).

Zobacz więcej w osobnym artykule: pseudowektor.

W fizyce oprócz wektorów rozważa się również pseudowektory (lub wektory osiowe). Pseudowektory są elementami, których składowe podczas obrotów niewłaściwych układu współrzędnych zmieniają znak na przeciwny. Przykładem są tu prędkość kątowa i wszystkie wektory od niej pochodne jak moment siły, czy moment pędu, a także pole magnetyczne.

Rozróżnienie na wektory i pseudowektory jest często zaniedbywane – nabiera ono znaczenia dopiero wówczas, gdy rozważa się własności symetrii równań opisujących zjawiska. Prostym sposobem odróżnienia wektora od pseudowektora jest przedstawienie wybranego zjawiska w zwierciadle. Wektory odbijają się tak jak obrazy, pseudowektory zaś zmieniają zwrot.

edytuj Definicja

Zobacz więcej w osobnym artykule: przestrzeń liniowa.

W matematyce pojęcie to uległo daleko idącej generalizacji i obejmuje wszystkie wielkości spełniające pewien zestaw aksjomatów. Aksjomaty te określają przestrzeń wektorową, a wektor to po prostu element tej przestrzeni. W szczególności typowymi wektorami w matematyce są nie tylko elementy przestrzeni euklidesowej $\mathbb R^n$ , ale także np. ciągi w klasie ciągów sumowalnych albo funkcje w przestrzeni funkcji ciągłych.

edytuj Fizyka

Zobacz więcej w osobnym artykule: przekształcenie liniowe.

Zgodnie z powyższymi obserwacjami, obrót ma zmieniać wektor w sposób liniowy. Niech $A$ będzie macierzą przekształcenia liniowego będącego obrotem, zaś $x$ wektorem, którego współrzędne oznaczają dowolny punktu przestrzeni. Przekształcenie $A$ wprowadza nowy układ współrzędnych, w którym wektor $x$ przechodzi na wektor $x' = A \cdot x$ . Jeżeli składowe wektora w „starym” i „nowym” (obróconym) układzie współrzędnych związane są ze sobą analogiczną liniową zależnością $v' = A \cdot v$ , to jest ona wektorem.

Ogólniej, wektor jest tensorem kontrawariantnym rzędu jeden.

edytuj Oznaczenia

W druku wektory oznacza się najczęściej czcionką pogrubioną: $\mathrm a,\; \mathrm b,\; \dots$ . Innym sposobem oznaczania wektorów jest umieszczanie strzałki nad literą $\vec a$ lub (rzadziej) jego podkreślenie: $\underline a$ . Bardzo rzadko spotykanym sposobem wskazania wektora jest również użycie znaku tyldy pod symbolem.

edytuj Reprezentacja algebraiczna

edytuj Baza, liniowa niezależność

Zobacz więcej w osobnych artykułach: baza (przestrzeń liniowa), liniowa niezależność wektorów.

Układ wektorów, który pozwala na jednoznaczny zapis wektora za pomocą wektorów liniowo niezależnych (jedynym warunkiem jest ich liczba równa wymiarowi przestrzeni liniowej) nazywamy bazą przestrzeni liniowej.

Współrzędnymi wektora w danej bazie są skalary $a_1,\; a_2,\; \dots,\; a_n$ wektora

$\mathrm a = a_1 \mathrm x_1 + a_2 \mathrm x_2 + \ldots + a_n \mathrm x_n$ .

edytuj Baza kanoniczna

Zbiór $\mathcal B = \left\{(1,\; 0,\; 0,\; \dots,\;0),\; (0,\; 1,\; 0,\; \dots,\;0),\; (0,\; 0,\; 1,\; \dots,\;0),\; \dots,\; (0,\; 0,\; 0,\; \dots,\;1)\right\}$ stanowi w oczywisty sposób układ wektorów do siebie prostopadłych, czy też w języku przestrzeni liniowych ortogonalnych (wersory ortogonalne nazywamy ortonormalnymi).

O ile zbiór $\mathcal B$ jest n-elementowy, to łatwo zauważyć, że jest on bazą przestrzeni $\mathbb R^n$ . Rodzinę $\mathcal B$ nazywa się wtedy bazą kanoniczną tej przestrzeni. Jest to najbardziej naturalny sposób przedstawiania wektora we wspomnianej przestrzeni, gdyż współrzędne dowolnego wektora w tej bazie pokrywają się ze współrzędnymi kartezjańskiego układu współrzędnych o osiach z podziałką jednostkową.

W trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej wektory tej bazy mają standardowe oznaczenia: wersory równoległe odpowiednio do osi $OX,\; OY,\; OZ$ oznaczamy symbolami $\mathrm{i,\; j,\; k}$ .

edytuj Zapis

Niech $a$ będzie wektorem w pewnej bazie $\mathcal B = \left\{\mathrm{x_1,\; x_2,\; \dots,\; x_n}\right\}$ , czyli $\mathrm a = a_1 \mathrm x_1 + a_2 \mathrm x_2 + \dots a_n \mathrm x_n \in \mathbb R^n$ .

Jego współrzędne $a_i \in \mathbb R$ zapisuje się często w postaci kolumnowej

$\mathrm a = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \\ \end{bmatrix}$

lub wierszowej

$\mathrm a = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \dots & a_n \\ \end{pmatrix}$ ,

częstokroć oddzielając je przy tym np. za pomocą przecinków czy średników

$\mathrm a = (a_1,\; a_2,\; \dots ,\; a_n)$ ,

czasami zaznaczając przy tym odpowiednią bazę w indeksie dolnym.

Powyższy zapis przywołujący na myśl macierze $n \times 1$ , nie jest bezzasadny, gdyż istnieje wzajemna odpowiedniość między wektorami a macierzami o tych wymiarach, podobnie jak między przekształceniami liniowymi a ich macierzami.

edytuj Reprezentacja geometryczna

Wektory często reprezentuje się graficznie jako strzałki. Wtedy początek tej strzałki (punkt $A$ na rysunku) nazywa się początkiem lub punktem zaczepienia wektora, natomiast jej koniec zakończony grotem (punkt $B$ ) końcem wektora. Długość strzałki powinna być związana z wartością wektora, a jej kierunek z kierunkiem wektora.

Strzałkę reprezentującą wektor z rysunku powyżej można zapisać jako $\vec{AB}$ lub $AB$ . Należy jednak pamiętać, iż podkreślenie stosuje się również dla oznaczenia liczb zespolonych (które notabene również można interpretować jako wektory przestrzeni dwuwymiarowej).

Wektor jest zdefiniowany za pomocą dwóch punktów, na płaszczyźnie wektor biegnący z punktu $A(x_a,\; y_a)$ do punktu $B(x_b,\; y_b)$ to $\vec{AB} = [x_b-x_a,\; y_b-y_a]$ .

Mimo swej poglądowości, reprezentacja graficzna jest niewygodna jeśli chodzi o działania na wektorach.

edytuj Długość wektora

Zobacz więcej w osobnym artykule: norma (matematyka).

Długość wektora $a$ , czyli jego wartość oznacza się symbolem $\|\mathrm a\|$ , czasami po prostu $| a |$ . Długość wektora przestrzeni $\mathbb R^n$ jest uogólnieniem pojęcia wartości bezwględnej przestrzeni $\mathbb R$ .

W n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej pojęcie to pokrywa się z normą euklidesową tej przestrzeni. Niech $\mathrm a = a_1 \mathrm x_1 + a_2 \mathrm x_2 + \dots a_n \mathrm x_n \in \mathbb R^n$ . Norma zdefiniowana wzorem

$\|\mathrm x\| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2}$

wyznacza jego długość w przestrzeni $\mathbb R^n$ . Powyższy wzór jest prostą konsekwencją twierdzenia Pitagorasa obowiązującego w geometrii euklidesowej.

edytuj Wersory

Zobacz więcej w osobnym artykule: wersor.

Wersorem, albo wektorem jednostkowym, nazywamy dowolny wektor o długości równej jedności. Z każdym wektorem niezerowym wektorem $a$ , można stowarzyszyć pewien wersor, który jest zgodnie z nim skierowany. Mianowicie, łatwo sprawdzić, że wektor

$\mathrm a^\circ \equiv \mathrm a_u = {\mathrm a \over \|\mathrm a\|}$

ma długość jeden i jest skierowany zgodnie z wektorem $a$ .

edytuj Wektor zerowy

Dla pełności teorii wygodnie jest przyjąć istnienie tzw. wektora zerowego. Jest to wektor o nieokreślonym (dowolnym) kierunku i zwrocie oraz długości równej zeru. Dodanie (lub odjęcie) wektora zerowego do innego wektora nie zmienia tego wektora.

edytuj Relacje i działania

edytuj Równość

Rozróżnia się wektory swobodne, związane (zaczepione) oraz ślizgające się. Przykładem wektora swobodnego w fizyce jest wektor opisujący przesunięcie bryły w przestrzeni, nie jest istotne umieszczenie wektora w przestrzeni, jest on zawsze taki sam. Wektorem ślizgającym się jest wektor siły działającej na bryłę sztywną, zmiana prostej wzdłuż której działa wektor na inną choć równoległą, zmienia skutek działania siły, ale zmiana punktu przyłożenia siły na inny na tej samej prostej nie zmienia skutku działania siły. W przypadku gdy siła działa na bryłę elastyczną istotny jest także punkt przyłożenia siły na prostej wzdłuż której działa (np. sprężyna ściskana w całości lub tylko jej część).

Dwa wektory są równe, gdy mają tę samą wartość, kierunek i zwrot. W przypadku wektorów zaczepionych dodatkowym warunkiem jest równość punktów zaczepienia. Dla przykładu, wektory: i + 2j + 3k zaczepiony w punkcie (1,0,0) i i+2j+3k zaczepiony w punkcie (0,1,0) są równe, ale jeśli traktować je jako wektory zaczepione – nie.

edytuj Suma wektorów

Niech a=a₁i + a₂j + a₃k i b=b₁i + b₂j + b₃k będą dwoma wektorami. Ich sumę określamy jako:

$\mathbf{a}+\mathbf{b} =(a_1+b_1)\mathbf{i} +(a_2+b_2)\mathbf{j} +(a_3+b_3)\mathbf{k}$

Graficzną interpretacją dodawania wektorów jest tak zwana reguła równoległoboku:

lub reguła trójkąta:

Różnicę wektorów a i b określamy następująco:

$\mathbf{a}-\mathbf{b} =(a_1-b_1)\mathbf{i} +(a_2-b_2)\mathbf{j} +(a_3-b_3)\mathbf{k}$

Geometrycznie:

według reguły równoległoboku i

według reguły trójkąta.

edytuj Wektory składowe, wypadkowe

Wektorami składowymi danego wektora nazywa się wektory, których suma jest równa danemu wektorowi. Przy określaniu wektorów składowych często narzuca się dodatkowe warunki np. określające kierunki tych wektorów.

Stwierdzenie, że wektor charakteryzuje się wartością, kierunkiem i zwrotem z matematycznego punktu widzenia oznacza, że jego składowe zmieniają się podczas obrotu układu współrzędnych w ten sam sposób jak współrzędne punktów przestrzeni.

Wektor będący sumą kilku wektorów nazywany jest wektorem wypadkowym.

edytuj Mnożenie przez skalar

Zobacz więcej w osobnym artykule: Iloczyn wektora przez skalar.

Wektor można pomnożyć przez skalar – czyli w naszej sytuacji liczbę rzeczywistą. Jeżeli a jest wektorem, a r skalarem, to iloczynem ra wektora a przez skalar r nazywamy wektor:

$r\mathbf{a}=(ra_1)\mathbf{i} +(ra_2)\mathbf{j} +(ra_3)\mathbf{k}$

Jego długość równa jest |r||a|, kierunek taki sam jak kierunek wektora a, a zwrot zgodny ze zwrotem a, gdy r>0 i przeciwny do zwrotu a, gdy r<0.

Tak określone mnożenie spełnia podstawowe własności algebraiczne – jest między innymi łączne i rozdzielne.

edytuj Iloczyn skalarny

Zobacz więcej w osobnym artykule: Iloczyn skalarny.

Iloczyn skalarny wektorów a i b (zwany czasem iloczynem wewnętrznym) jest liczbą, określoną jak następuje:

$\mathbf{a}\circ\mathbf{b} =\left|\mathbf{a}\right|\left|\mathbf{b}\right|\cos(\theta)$

gdzie θ jest miarą kąta pomiędzy wektorami a i b. Jeśli

Iloczyn skalarny wyrażony przez współrzędne wektorów a i b wygląda następująco:

$\vec{a}\circ\vec{b} = [a_x ,a_y]\circ[b_x , b_y] = a_xb_x + a_yb_y$

Sens geometryczny iloczynu skalarnego jest następujący: jeśli narysować a i b jako zaczepione w jednym punkcie, to a·b jest iloczynem długości wektora a i rzutu równoległego wektora b na kierunek wektora a. Na przykład, w fizyce, praca wykonana nad ciałem przez siłę F jest iloczynem skalarnym wektora tej siły i wektora o jaki przesunęła ona ciało.

edytuj Iloczyn wektorowy

Zobacz więcej w osobnym artykule: Iloczyn wektorowy.

W przestrzeni $n$ -wymiarowej jest określone działanie iloczynu wektorowego dla danych dowolnych $n - 1$ wektorów.

W przestrzeni trójwymiarowej, iloczyn wektorowy wektorów $a$ i $b$ (zwany też iloczynem zewnętrznym) jest wektorem określonym następująco:

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \left|\mathbf{a}\right| \left|\mathbf{b}\right| \sin(\theta) \mathbf{n}$ ,

gdzie $θ$ jest miarą kąta między wektorami $a$ i $b$ , a $n$ jest wektorem jednostkowym prostopadłym do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory $a$ i $b$ oraz skierowanym tak, by orientacja układu wektorów $a$ , $b$ i $a \times b$ była zgodna z orientacją wersorów osi układu współrzędnych. Wynika stąd, że $a \times b$ jest pseudowektorem.

Geometrycznie długość wektora $a \times b$ można interpretować jako pole równoległoboku rozpiętego na wektorach $a$ i $b$ .

edytuj Iloczyn mieszany wektorów

Zobacz więcej w osobnym artykule: Iloczyn mieszany wektorów.

Iloczyn mieszany jest działaniem, które trójce wektorów a, b, c przypisuje liczbę oznaczaną (abc) i określoną następująco:

$(\mathbf{a}\ \mathbf{b}\ \mathbf{c}) =\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})$

Główne zastosowania iloczynu mieszanego są trojakie. Przede wszystkim, wartość bezwzględna iloczynu mieszanego wyraża objętość równoległościanu rozpiętego na danych wektorach. Dalej, iloczyn mieszany trzech wektorów jest równy 0 wtedy i tylko wtedy, gdy wektory te są liniowo zależne. I wreszcie, iloczyn mieszany jest liczbą dodatnią, wtedy i tylko wtedy, gdy trójka wektorów zorientowana jest zgodnie z trójką wersorów i, j, k osi układu współrzędnych.

Jeżeli wektory a, b, c dane są przez swoje współrzędne w postaci kolumnowej, to iloczyn mieszany tych wektorów równy jest wyznacznikowi macierzy kwadratowej utworzonej z wektorów.

edytuj Uogólnienia

W matematyce wektor oznacza element pewnej przestrzeni wektorowej. Tak rozumiane wektory są w pełni określone wyłącznie przez swoje własności formalne i mogą one być bardzo różnorodnymi obiektami: ciągami, macierzami lub przekształceniami przestrzeni. W szczególności, tak rozumianymi wektorami są również tensory (mimo, że w fizyce stanowią one uogólnienie klasycznego pojęcia wektora).

edytuj Pola wektorowe

Oprócz algebry wektorów, zajmującej się wektorami stałymi istnieje analiza wektorowa, która bada wektory zmienne czyli funkcje, których wartościami są wektory. Funkcje te nazywa się funkcjami wektorowymi lub polami wektorowymi.

edytuj Zobacz też

pole wektorowe

Zobacz kategorię na Wikimedia Commons:
Wektor

edytuj Linki zewnętrzne

Online vector identities (pdf)

Wektor.html

Spis treści

edytuj Intuicje

edytuj Matematyka

edytuj Fizyka

edytuj Skalary i pseudowektory

edytuj Definicja

edytuj Fizyka

edytuj Oznaczenia

edytuj Reprezentacja algebraiczna

edytuj Baza, liniowa niezależność

edytuj Baza kanoniczna

edytuj Zapis

edytuj Reprezentacja geometryczna

edytuj Długość wektora

edytuj Wersory

edytuj Wektor zerowy

edytuj Relacje i działania

edytuj Równość

edytuj Suma wektorów

edytuj Wektory składowe, wypadkowe

edytuj Mnożenie przez skalar

edytuj Iloczyn skalarny

edytuj Iloczyn wektorowy

edytuj Iloczyn mieszany wektorów

edytuj Uogólnienia

edytuj Pola wektorowe

edytuj Zobacz też

edytuj Linki zewnętrzne