Wymiar (matematyka).html



Niektóre informacje zawarte w artykule wymagają weryfikacji. Do weryfikacji: zob. dyskusja

Ten artykuł wymaga dopracowania zgodnie z zaleceniami edycyjnymi. Należy w nim poprawić: nadać formę hasła wikipedystycznego, uporządkować, opisać pojęcia przestrzeni skończeniewymiarowej i nieskończeniewymiarowej, gdyż tu odnoszą wspomniane hasła.. Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się na stronie dyskusji tego artykułu w sekcji Dopracować Po wyeliminowaniu wskazanych powyżej niedoskonałości prosimy usunąć szablon {{Dopracować}} z kodu tego artykułu.

edytuj Wstęp

W przypadku (wielowymiarowej) przestrzeni euklidesowej, wymiarem przestrzeni jest maksymalna liczba wzajemnie prostopadłych prostych, przechodzących przez dany punkt.

Pojęcie wymiaru jest uogólnieniem naturalnych intuicji, że prosta jest obiektem jedno-, płaszczyzna dwu-, a zwykła przestrzeń trójwymiarowym. W zależności od sposobu dokonywania uogólnień otrzymujemy różne definicje wymiaru, jednak szereg z nich zgadza się dla przestrzeni euklidesowych.

edytuj Wymiar przestrzeni liniowej

W algebrze liniowej, wymiar przestrzeni liniowej, to moc dowolnej bazy liniowej tej przestrzeni.

Wymiar liniowy przestrzeni euklidesowej R ⁿ wynosi n; w przestrzeni dwuwymiarowej do określenia położenia dowolnego punktu potrzebne są dwie współrzędne np. p :=(20,30); w układzie trójwymiarowym   trzy współrzędne, np. p := (20,30,45).

Ponieważ przestrzeń  R ³  dość dobrze opisuje świat bezpośrednio dostępny naszym zmysłom, można na codzień mówić, że żyjemy w przestrzeni trójwymiarowej.

W przypadku przestrzeni nad ciałem liczb zespolonym zachodzi naturalne utożsamienie:

Widzimy, że przestrzeń, o wymiarze liniowym zespolonym n, ma wymiar rzeczywisty 2·n. Dla przykładu, 4-wymiarowa przestrzeń euklidesowa może być traktowana jako 2-wymiarowa zespolona, a płaszczyzna euklidesowa (czyli przestrzeń 2-wymiarowa nad ciałem liczb rzeczywistych) może być traktowana jako prosta zespolona (czyli przestrzeń 1-wymiarowa nad ciałem liczb zespolonych).

edytuj Wymiar przestrzeni Hilberta

Występująca w analizie funkcjonalnej (i nie tylko) przestrzeń Hilberta jest przestrzenią liniową, więc stosuje się do niej ogólne pojęcie wymiaru przestrzeni liniowej (zdefiniowane w algebrze liniowej). W praktyce, tego wymiaru liniowego w kontekście przestrzeni Hilberta nigdy się nie używa. W analizie funkcjonalnej wszystkie najważniejsze nieskończenie wymiarowe przestrzenie liniowe mają ten sam wymiar liniowy (w opisanym sensie algebry liniowej). Więc taki wymiar jest w ich przypadku na ogół bez znaczenia.

Gdy w matematyce mówimy o wymiarze przestrzeni Hilberta, to mamy na myśli najmniejszą moc zbioru niezerowych, wzajemnie prostopadłych elementów tej przestrzeni. Na przykład, wymiar Hilberta ośrodkowej przestrzeni Hilberta jest albo skończony albo .

Tak zdefiniowany wymiar, gdy jest skończony, pokrywa się z wymiarem w sensie algebry liniowej; gdy jest równy , to jest mniejszy od wymiaru z algebry liniowej.

Zobacz: przestrzeń Hilberta

edytuj Mały wymiar indukcyjny Mengera-Urysohna (topologia)

edytuj Definicja

Niech X  będzie przestrzenią regularną. Mały wymiar indukcyjny przestrzeni X,  oznaczany symbolem ind X,  jest liczbą całkowitą nie mniejszą od -1, lub nieskończonością, określoną za pomocą indukcyjnej definicji, wyrażonej w poniższych czterech warunkach:

(MU1) 

(MU2)    (dla  ),  jeśli dla każdego punktu oraz jego dowolnego otoczenia istnieje zbiór otwarty taki, że  oraz 

(MU3)  ,  gdy oraz nie zachodzi

(MU4) , gdy dla żadnego   nie jest prawdą, że .

Uwaga  Od zbioru U  można w warunku (MU2) wymagać, by jego domknięcie było zawarte w zbiorze V (definicja pozostanie równoważna).

edytuj Historia

Mały wymiar indukcyjny został zdefiniowany niezależnie przez Pawła Urysohna w 1922 roku oraz Karla Mengera w 1923 roku.

edytuj Duży wymiar indukcyjny Borela-Čecha (topologia)

Otrzymuje się go przez zastąpienie w definicji ind punktu przez zbiór domknięty:

edytuj Definicja

Niech X  będzie przestrzenią normalną. Duży wymiar indukcyjny przestrzeni X,  oznaczany symbolem Ind X,  jest liczbą całkowitą nie mniejszą od -1, lub nieskończonością, określoną za pomocą indukcyjnej definicji, wyrażonej w poniższych czterech warunkach:

(DU1) 

(DU2)    (dla  ),  jeśli dla każdego zbioru domkniętego oraz jego dowolnego otoczenia istnieje zbiór otwarty taki, że   oraz  .

(DU3)  ,  gdy oraz nie zachodzi

(DU4)  , gdy dla żadnego   nie jest prawdą, że .

Uwaga Od zbioru U  można w warunku (DU2) wymagać, by jego domknięcie było zawarte w zbiorze V.

edytuj Wymiar pokryciowy Čecha-Lebesgue'a (topologia)

Dowolnej przestrzeni normalnej X  można przypisać wymiar pokryciowy Čecha-Lebegue'a, który będziemy oznaczać dim X.  Wymiar dim X   jest liczbą całkowitą nie mniejszą niż -1, lub jest nieskończony. Wymiar definiują następujące warunki:

(CL1) 

dim X ≤ n, jeśli w każde skończone pokrycie otwarte przestrzeni X  można wpisać skończone pokrycie otwarte takie, że każde n+2 zbiory tego pokrycia mają puste przecięcie.

(CL2) 

dim X = n,  jeśli dim X ≤ n, ale nieprawda, że dim X ≤ n - 1.

(CL3) 

dim X  jest nieskończony, jeśli dla żadnej liczby n  nie zachodzi warunek (CL1).

Zauważmy, że ciężar definicji tkwi w warunku (CL1); dwa pozostałe mają charakter porządkujący.

edytuj Historia pojęcia

Wymiar pokryciowy został zdefiniowany i zbadany przez Eduarda Čecha w pracy z 1933. Pojęcie nawiązuje do odkrytej przez Lebesgue'a własności kostki n-wymiarowej.
Intuicja Zauważmy (a pierwszy uczynił to Henri Lebesgue w 1911 roku, w wymiarze n), że możemy pokryć odcinek jednostkowy I rodziną odcinków o dowolnie małej (z góry zadanej) długości, w taki sposób, że każda trójka odcinków ma puste przecięcie. Nie da się jednak tego uczynić tak, by każda para była rozłączna.
Z kolei kwadrat zawsze możemy pokryć prostokątami o dowolnie krótkim (znowu z góry zadanym) dłuższym boku, w taki sposób, że każde cztery małe prostokąty nie przecinają się. Ale nie możemy pokryć go prostokątami w taki sposób, żeby trójki prostokątów się nie przecinały.
Wreszcie, możemy sześcian wypełnić skończoną rodziną dowolnie małych prostopodłościanów (wyobraźmy sobie cegły) w taki sposób, że każde pięć będzie miało pustą część wspólną. Ale cztery prostopadłościany mogą mieć niepuste przecięcie (cztery cegły muszą się stykać).
Dodajemy teraz, że Lebesgue podał dowody powyższych obserwacji i to nie tylko dla przypadku pokryć "cegiełkami" odpowiedniego wymiaru, ale dla pokryć dowolnymi zbiorami. Twierdzenie to legło u podstaw budowy teorii wymiaru pokryciowego Čecha-Lebesgue'a.
Literatura Ryszard Engelking Teoria wymiaru, Warszawa 1981; Roman Duda O pojęciu wymiaru, Warszawa 1972.

edytuj Wymiar rozmaitości topologicznej

Na mocy definicji, rozmaitość topologiczna jest lokalnie homeomorficzna z pewną przestrzenią R ⁿ. Wtedy n  jest wymiarem topologicznym rozmaitości.

edytuj Wymiar fraktalny, wymiar Hausdorffa

Istnieje więcej niż jedno pojęcie "wymiaru fraktalnego". Najczęściej oznacza wymiar Hausdorffa. Stosowane są też inne definicje. Do najważniejszych można zaliczyć wymiar pudełkowy (box-counting dimension) i wymiar pakowania (packing dimension).

edytuj Równoważność definicji wymiaru

Na mocy zasadniczego twierdzenia teorii wymiaru trzy klasyczne definicje wymiaru: ind, Ind i dim, są równoważne dla wszystkich ośrodkowych przestrzeni metrycznych. Ponadto dim oraz Ind są równoważne dla przestrzeni metrycznych, podczas gdy ind i Ind są równoważne dla przestrzeni zwartych. Przykłady pokazują, że ogólnie trzy klasyczne funkcje wymiaru są różne.

Przykłady:

Płaszczyzna zespolona ma wymiar 1 jako przestrzeń liniowa, natomiast z topologicznego punktu widzenia jest płaszczyzną, zatem mały i duży wymiar indukcyjny, wymiar pokryciowy oraz wymiar Hausdorffa (względem zwykłej metryki euklidesowej) płaszczyzny zespolonej jest równy 2. Wymiar topologiczny trójkąta Sierpińskiego jest równy 1 (zbiór daje się rozciąć pojedynczymi punktami) a wymiar Hausdorffa wynosi

.

edytuj Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki

edytuj Linki zewnętrzne

• Alternatywne podjeście do wielowymiarowości