Wzór Bayesa.html

Twierdzenie Bayesa to twierdzenie teorii prawdopodobieństwa. Ma ono bardzo prostą postać, jednak staje się bardzo istotne przy pewnej jego interpretacji.

Spis treści

1 Wzór Bayesa
- 1.1 Teza
- 1.2 Dowód
2 Interpretacje
- 2.1 Prawdopodobieństwo subiektywistyczne
3 Zastosowania
- 3.1 Przykład użycia
4 Zobacz też

edytuj Wzór Bayesa

edytuj Teza

Niech :

$X \subset \bigcup_{j=1}^{n} T_{j} \and T_{i} \cap T_{j}=\emptyset , i \not = j$ .

Wtedy:

$P(T_i|X) = \frac {P(T_i) P(X|T_i)}{P(X)}.$

edytuj Dowód

$P(X \cap T) = P(T) P(X|T) = P(X) P(T|X) \iff$ $P(T) P(X|T) = P(X) P(T|X) \iff P(T|X) = {P(T) P(X|T) \over P(X)}$ .

edytuj Interpretacje

edytuj Prawdopodobieństwo subiektywistyczne

W interpretacji subiektywistycznej jest twierdzeniem wręcz podstawowym. Otóż niech $X$ będzie pewnym zdarzeniem, $T$ zaś pewną teorią.

$P (X)$ jest więc obserwowanym prawdopodobieństwem $X$ , zaś $P (X | T)$ to prawdopodobieństwo, że $X$ nastąpi według teorii $T$ . Z kolei $P (T)$ to prawdopodobieństwo, że teoria $T$ jest prawdziwa, $P (T | X)$ to prawdopodobieństwo, że teoria $T$ jest prawdziwa, jeśli zaobserwowano $X$ .

Zdania typu "prawdopodobieństwo, że teoria $T$ jest prawdziwa" są z punktu widzenia interpretacji obiektywistycznej nie do przyjęcia – teoria jest prawdziwa (prawdopodobieństwo równe jedności) lub też nie (prawdopodobieństwo równe zeru), czyli prawdziwość teorii nie jest zdarzeniem losowym.

edytuj Zastosowania

W praktyce używa się zazwyczaj przekształconej wersji twierdzenia Bayesa, gdzie $P (X)$ wyrażone jest jako suma lub całka po $T$ :

$P(T|X) = {P(T) P(X|T) \over \int P(T) P(X|T) dT}$ .

edytuj Przykład użycia

Twierdzenia Bayesa można użyć do interpretacji rezultatów badania przy użyciu testów wykrywających narkotyki. Załóżmy, że przy badaniu narkomana test wypada pozytywnie w 99% przypadków, zaś przy badaniu osoby nie zażywającej narkotyków wypada negatywnie w 99% przypadków. Pewna firma postanowiła przebadać swoich pracowników takim testem wiedząc, że 0,5% z nich to narkomani. Chcemy obliczyć prawdopodobieństwo, że osoba u której test wypadł pozytywnie rzeczywiście zażywa narkotyki. Oznaczmy następujące zdarzenia:

$D$ - dana osoba jest narkomanem
$N$ - dana osoba nie jest narkomanem
$+$ - u danej osoby test dał wynik pozytywny
$-$ - u danej osoby test dał wynik negatywny

Wiemy, że:

$P (D) = 0,005$ , gdyż 0,5% pracowników to narkomani
$P (N) = 1 - P (D) = 0,995$
$P ( + | D) = 0,99$ , gdyż taką skuteczność ma test przy badaniu narkomana
$P ( - | N) = 0,99$ , gdyż taką skuteczność ma test przy badaniu osoby nie będacej narkomanem
$P ( + | N) = 1 - P ( - | N) = 0,01$

Mając te dane chcemy obliczyć prawdopodobieństwo, że osoba u której test wypadł pozytywnie, rzeczywiście jest narkomanem. Tak więc:

$\begin{align}P(D|+) & =\frac{P(+|D)P(D)}{P(+)} \\ & =\frac{P(+|D)P(D)}{P(+|D)P(D)+P(+|N)P(N)} \\ & =\frac{0,99 \cdot 0,005}{0,99 \cdot 0,005 + 0,01 \cdot 0,995} \\ & = 0,3322 \end{align}$

Mimo potencjalnie wysokiej skuteczności testu, prawdopodobieństwo, że narkomanem jest badany pracownik u którego test dał wynik pozytywny, jest równe około 33%, więc jest nawet bardziej prawdopodobnym, ze taka osoba nie zażywa narkotyków. Ten przykład pokazuje, dlaczego ważne jest, aby nie polegać na wynikach tylko pojedynczego testu.

edytuj Zobacz też

przegląd zagadnień z zakresu matematyki