Zbiór skończony.html



Zbiór skończony - oznacza w matematyce zbiór równoliczny ze zbiorem {1, 2, ..., n} dla pewnej liczby naturalnej n. Definicja ta obejmuje również zbiór pusty, wystarczy przyjąć n = 0.

Niezależnie od przyjmowanej definicji zbioru skończonego (dalej), zbiór nieskończony określamy jako zbiór, który nie jest skończony.

edytuj Inne określenia

W "życiu realnym" mamy do czynienia wyłącznie ze zbiorami skończonymi. Przedmioty należące do takich zbiorów zawsze można policzyć - polega to na oznaczaniu kolejnych przedmiotów zbioru kolejnymi liczbami naturalnymi w taki sposób, by każdy przedmiot oznaczony był dokładnie jedną liczbą; oczywiście, w "życiu" proces ten zawsze się kończy. Podana wyżej definicja (N) zbioru skończonego jest matematycznym ujęciem opisanej procedury.

Okazuje się jednak, że skończoność zbioru można definiować również na inne sposoby.

• (T): zbiór S jest skończony wtedy i tylko wtedy, gdy każda niepusta rodzina jego podzbiorów ma element maksymalny ze względu na relację inkluzji. Jest to określenie pochodzące od Tarskiego. Ma ono tę zaletę, że pozwala zdefiniować skończoność bez znajomości pojęcia liczby naturalnej.
• (D): zbiór S jest skończony wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest równoliczny z żadnym swoim podzbiorem właściwym. Innymi słowy: nie istnieje funkcja g:S → S, która byłaby różnowartościowa, lecz nie na S. To określenie zbioru skończonego pochodzi od Dedekinda i podobnie jak określenie Tarskiego nie odwołuje się do pojęcia liczby naturalnej. Z powodu swej intuicyjności, w XIX wieku było niemal powszechnie przyjmowane jako równoważne definicji (N).
• (D'): zbiór S jest skończony wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje iniekcja g ze zbioru w zbiór S.

edytuj Skończoność w sensie Dedekinda a aksjomat wyboru

Powstaje pytanie, jak ma się definicja (N) zbioru skończonego do definicji (T) i (D)? W teorii mnogości z aksjomatyką Zermelo-Fraenkela (ZF) bez aksjomatu wyboru można udowodnić następujące równoważności:

1. (N) ⇔ (T)
2. (D) ⇔ (D')
3. (N) ⇒ (D) (przez indukcję matematyczną)

Dowód implikacji (D) ⇒ (N), która z 3) dałaby równoważność (N) z (D), wymaga jednak użycia aksjomatu wyboru. Bez niego nie da się udowodnić, że każdy zbiór skończony w sensie Dedekinda jest skończony w sensie (N).

edytuj Przykłady

Zbiór liczb naturalnych jest równoliczny ze zbiorem liczb parzystych, który jest jego właściwym podzbiorem. Równoliczność ustala funkcja .

Podobnie, zbiór liczb rzeczywistych jest równoliczny z podzbiorem liczb rzeczywistych dodatnich – odpowiednią funkcją jest np. .

Oznacza to, że zbiory i są nieskończone w sensie Dedekinda.

edytuj Zobacz też

• paradoks Hilberta
• nieskończoność
• arytmetyka liczb kardynalnych
• alef
• skala betów.